二次方程式の解き方!

数学【二次方程式】の解き方が分かれば強い味方にできる!

三年生で学ぶ二次方程式には三年間で学んだことがすべて詰まっています。
中学生の時に学ぶ解き方は三種類。
問題を解くことだけを考えると簡単なように見えますが、三種類の解き方から最適な解き方を見つけ出すことは難しく、これが「二次方程式は難しい」と感じるようになる理由です。
本記事は二次方程式についてを解説しています。
早い段階で苦手をなくして高校受験に備えましょう。

二次方程式の言葉の意味を理解しよう

二次方程式を解くにあたって直接関係はありませんが、二次方程式という言葉のもつ言葉の意味について理解しましょう。
言葉の意味も知らずにわかった気になるのはあまりにも野暮です。
言葉を知ってより深く二次方程式を理解しましょう。

二次方程式は「二次」の「方程式」

数字の2皆さんはこのタイトルを見て驚かれたかもしれません。
二次方程式は「二次」の「方程式」に他なりません。
「それくらい知っているよ」と思われる方も多く居られるかと思いますが、それでは意味を説明する事は出来るでしょうか。

二次の「次」とは次数の事です。
累乗を表す時に右上につく小さな数字です。
例えばxの二乗と表されていたときは二次式。
中学生では学ぶことはありませんがxの三乗であれば三次式と表すことが出来ます。
基本的にはその式の中で一番大きな次数を取って式を言いわけます。
今回学ぶ二次方程式では “x2-6=0” のように式の中で最大の次数がxについている2なので「二次方程式」というわけです。

方程式は言うまでもないでしょうか。
まだ分かっていない数字を明らかにするための式の事です。
未知数・等式など難しい言葉もありますが、とりあえず理解したいという事であれば気にしなくても良いでしょう。

今まで学んできた方程式とココが違う

中学校ではこれまで一次方程式や連立方程式を学んできましたが、今回学習する二次方程式とはどのような点が違うのでしょうか。
まだわからない数を求めるという点ではどれも変わりませんが、決定的に違う点がひとつあります。

それが「二乗したある数」が式の中に含まれているという点です。
皆さんは既に平方根や累乗を学習しているのでお分かり頂けると思いますが、累乗の計算は今まで学習してきたものとは違い少々複雑です。
そのため可能な限り計算しやすいように式を整理しながら解き進める事が大切です。

二次方程式の難しいポイント

ポイント二次方程式の難しい部分は以前に学習した平方根の知識を組み合わせて解き進める必要がある点です。
そのため平方根や累乗の仕組みを理解していない場合は、そこから復習する必要があるということです。
平方根に関しては別記事で詳しく取り扱っていますので、必要に応じて各自で復習を行っていただくようにして下さい。

札幌の塾なら大成会
札幌の塾なら大成会

基本的なニ次方程式の解き方

これからは学校で学ぶ基本的な二次方程式の解き方についておさらいする事にしましょう。
基本的には教員が教える内容と変わらないように作成しているので、授業の復習としても利用して頂けます。

平方根を使う

平方根を使う問題です。
以下の問題を例に考えてみましょう。

例題1.x2-9=0 を計算しなさい。

この問題では平方根を利用して解くことが可能です。
x2=aのとき、x=√aとなる性質を利用しましょう(具体的な数字を先程の式に当てはめると32=9のとき、3=√9です。理解できないときは先ほど紹介した記事で復習をしましょう)。

まずは-9を右辺に移項して “x2=9” と整理します。
先程紹介した悲報根の仕組みを利用すると “x=√9” とすることが可能です。
√9を解くと “x=3”となり正解は3です。
二次方程式の中では最もシンプルで分かりやすい式なので、皆さんもこのパターンは解くことが出来るのではないでしょうか。
難しいのは下記の2パターンです。

因数分解を使う

三年生で学習する因数分解を利用して解答する問題です。
因数分解を理解していないと解けない問題ですので、不安な場合は以下の記事で一度復習を行ってから読み進めるようにして下さい。

(4.【因数分解】は簡単に解ける!公式と解き方のコツをご紹介)

先程のパターンと違うポイントは二乗ではないxが左辺の数字についている事です。
あまりイメージが出来ないかと思われますのでひとつ例題を示しましょう。

例題2. x2+7x+12=0を計算しなさい。

この問題の左辺に注目してみましょう。
因数分解の公式 “x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)” を使用する事が出来ます。
これを使って解き進めましょう。
先程の式を因数分解の公式を使って整理すると “(x+3)(x+4)=0” とする事が出来ます。
式を成立させるにはxの数字が-3もしくは-4になれば良いので答えは x=-3, -4です。

解の公式は最終手段に取っておこう

平方根も因数分解も使用できないときは解の公式を使うことになります。
この解の公式は二次方程式で新たに学習するものです。
平方根も因数分解も出来るのに二次方程式が難しいと感じる皆さんはこの解の公式をマスターしていないという事になります。
もし当てはまるなと感じる場合は解の公式をしっかりと理解しましょう。
こちらでも例題を示しましょう。

例題3.3x2+5x+1=0を計算しなさい。

こちらの問題は平方根を利用する事も因数分解を利用する事も出来ません。
どうしようもないこの状態を打破するために昔の偉い人は解の公式を発見しました(ちなみに解の公式が発見された時期は紀元前より前まで遡ります)。

解の公式は以下のとおりです。

x=-b±√b2-4ac/2a

解の公式に出てくるa,b,cは係数です。
例題3の左辺をご覧になって下さい。
項のそれぞれから文字を取ったものが係数です。
3x2の係数は3なのでa=3、5xの係数は5なのでb=5、cはそのままc=1として解の公式に当てはめて計算してみましょう。

x=-5√(3)2-4(3)(1)/2(3)

これを計算するとx=-5±√13/6と求めることが出来ます。
途中式に関しては省略します。
どうしても答えが合わないときは一つずつ気をつけながら計算し直してみて下さい。
重要なポイントはルートの中の計算と分母の2に係数aを掛ける箇所です。
忘れがちなので気をつけましょう。
気をつけながら解いてもお手上げだという場合は学校の教員や塾講師と一緒に解いてみましょう。
見てもわからない場合は分かる人と一緒に解くことが大切です。
習うより慣れろの精神で臨みましょう!

※解の公式がどのように発見されたのかについては、中学生の皆さんには少し難しいので今の時点では気にする必要はありません。
「理屈が理解できなくても良いので一度見てみたい」という方はウィキペディアをご覧になって下さい。

二次方程式のポイント!数学はパズル

ここまでは学校でも学ぶような理論をもとに二次方程式について解説してきましたが、ここからは二次方程式の問題を特にあたって大切なポイントを2つ紹介します。

様々な角度から数学を見抜く

数学の問題で皆さんが陥りがちなのは問題演習を解いて分かった気になることです。
確かに問題演習は学んだ知識を定着させるために行うものですが、この問題演習には大きな落とし穴があることに気がつく方は多くありません。

ひらめき問題演習の大きな落とし穴とは「その単元で扱ったパターンの問題しか出ない」ということです。
例えば本記事では二次方程式を取り扱っていますが、多くの参考書の場合だと二次方程式を集中的に解かせる問題が非常に多いということです。
皆さんは模試や定期試験を解いていて実感している事かと思われますが、試験は問題演習とは違い様々な問題がランダムに出題されます。
学んだ順番にテストの問題が構成されていることはまず有りません。

そのため皆さんには「一問に対して様々な解答手段を考える」ということを普段から意識して頂くようにアドバイスをします。
様々な解決の道筋を立てることは入学試験に役立つだけではなく、社会人として生きていく上でも大切な役割を担っています。
今回の二次方程式であれば、総合問題集や定期テスト対策の参考書を活用する事や過去の定期テストの問題も解いてみるなど可能な範囲で出来ることを最大限行っておきましょう。

学んだことをフル活用する事が大切

不安定なブロックたびたび数学と英語は「積み上げ教科」と表現される事があります。
先程の話と続きますが、数学では一度学んだことは学んで終わりというわけではありません。
例えば一年生の最初に学習する正負の数は今皆さんが学習している二次方程式にも使いますし、最近学んだ平方根も二次方程式の解を求めるために必要不可欠です。

もし現時点で苦手な範囲が残っているのであれば二次方程式の学習と併せて復習しておくことを強くお勧めします。
もっとも二次方程式が分からない生徒の皆さんの多くが「解の公式や因数分解の公式を覚えられない」もしくは「平方根が理解できていない」の二択となりますので、手っ取り早く取り組むのであれば因数分解と平方根を先に理解するようにしましょう。

札幌の塾なら大成会
札幌の塾なら大成会

さいごに:頭を使って二次方程式を味方に!

二次方程式はこれまで学んだことを活用する機会が多くあります。
具体的には平方根や因数分解のような明らかな解き方から、問題によっては移項を活用して楽に解ける問題まで多種多様です。
本記事を活用して二次方程式をセオリー通り解けるようになったら様々な解き方にチャレンジしてみて下さい。
答えにたどり着かなくてもその経験は皆さんの成長に繋がります。

最後にアドバイスですが、解の公式や因数分解の公式を暗記することに徹しないように注意して下さい。
これらに限らず公式は使って初めて価値を発揮するものです。
本記事内でも申し上げましたが「習うより慣れろ」の精神で勉強に励みましょう。
暗記を一切せずに問題を解く中で覚えたほうが効率が良いという事もあります。
頑張って下さい。

この記事を監修した人

監修者の画像
チーム個別指導塾「大成会」
代表:池端 祐次

2013年「合同会社大成会」を設立し、代表を務める。学習塾の運営、教育コンサルティングを主な事業内容とし、札幌市区のチーム個別指導塾「大成会」を運営する。「完璧にできなくても、ただ成りたいものに成れるだけの勉強はできて欲しい。」をモットーに、これまで数多くの生徒さんを志望校の合格へと導いてきた。

学習相談、体験学習などいつでも受け付けております!

\この記事をみんなにシェア!/