【中学数学】平方根を理解しよう!

中学の数学【平方根】を理解して受験を乗り切ろう!

高校受験の際に大きな壁となる平方根
あなたはしっかりと理解できていますか。
本記事をご覧の皆さんは平方根が苦手な生徒さん達でしょう。
「ルートって何?」「平方根と根号の違いが分からない」などの疑問を解決できる記事ですので、平方根を得意単元にしたいと考えている皆さんは最後まで御覧ください。

平方根は誰でもつまずくポイント 

疑問を抱く女性平方根は全受験生の敵と言っても過言ではないほど様々な生徒が課題に感じているようです。
学習塾でも受験生が「解説してほしい」と持って来る問題の殆どが平方根です。
経験論で申し訳ありませんが、ともかく学習相談で対応した数学の問題は平方根が最も多かった印象です。

そこで「何が難しいのか」と疑問を投げかけたところ、生徒は「よくわからない記号が出てきて困る」「有理化がわからない」などの回答が目立ちました。
既に学習した事から一気に難しくなるので、この様に感じる方も多いのでしょう。

しかし、しっかりと腰を下ろして取り組めば平方根は難しい問題ではありません。
出来る限り分かりやすく解説しますので少しだけ粘り強く取り組んでみましょう。

覚えるのはコレだけ!平方根がよくわかるポイント解説

平方根を学習するにあたってまずは覚えておきたいポイントを事前学習しましょう。
以降の問題は本項にて解説しているものを利用して考えています。
途中でわからなくなった場合は何度も読み返して考えるようにしましょう。

平方根について理解する

ひらめきまずは平方根とは何か?についておさらいしましょう。
数学の問題を解説するとどうしても複雑になってしまうので各自でメモを取り、整理しながら読み進めて下さい。
出来る限り時間を掛けてじっくりと考える事をお勧めします。

平方根とは「aという数字を2乗した数がbである」この時に「aはbの平方根である」と言い表すことが出来ます。
実際に数字を入れてみましょう。
「4の平方根は+2と-2である」と言い表すことが出来ます。
通常は±2という符号を使うことになります。
つまりは2乗するという作業の逆の手順を行っているという訳です。

また、平方根の単元では “√”という記号を扱います。
根号という呼び名が付いていたりルート(数字)と読みますが、この程度であれば学校でも教えてくれるので嫌でも知っている事でしょう。
ルートの中には「2乗した後の数」が入ります。
先程の例を遣うと ”2×2=4” の4の部分がルートの中に入るといった具合です。
勘の良い方は既にお気づきかもしれませんが、根号の中に負の数は入りません。
なぜなら中学校で学ぶ数学では「二乗して負の数になる数は存在しない」からです。

では、何故平方根が必要なのでしょうか。

根号の中身には「2乗した後の数」が含まれています。
つまりは正方形の面積と一緒です。
9平方cmの正方形を考えた時、一辺の長さは√9cm=3cmとすぐに求めることが出来ますが、2平方cmの正方形はどうでしょう。
2乗して2になる数を今まで学習してきた知識を用いて表すことは出来ません。
更に実は2乗して2になる数は整数や分数では表せません。
このように整数や分数で表すことの出来ない数に対して使うものが√と呼ばれる記号です。

有理化する理由

平方根を勉強する上で難しいポイントが分数です。
分母に平方根が含まれている場合、有理化という作業を行わなければならないからです。
ではそもそも何故有理化を行わなければならないのでしょうか、一度考えてみましょう。

ピザ有理化を考える上でピザをイメージして頂けると分かりやすいのではないでしょうか。
ピザーラのLサイズは全部で12カットあります。
その際、私達が食べる一切れは1/12と表すことが出来ます。
当たり前のように感じられる方も多いかと思われますが、これが整数以外の形だとどうなるか一度考えてみて下さい。

文字で説明すると訳がわからない程ややこしくなることがお分かり頂けると思います。
ピザを切り分ける際に「12.5分の1カットで」等とは言いませんよね。
そのため分母が小数や分数、そして平方根の場合は整数にしてから計算するようにしないといけないという事です。

有理化の方法は「分母と分子に√(数字)をかける」だけです。
分母と分子に同じ数を掛けると数字は違えど量は同じになります。
例えば1/2と2/4は数量的には同じ数字ですが、2/4は1/2の分母と分子それぞれに2を掛けた数です。
このように考えていただければ良いでしょう。
また見た目の上では分母から分子へ平方根が移動したように見えるかもしれません。
表面だけを見ていると訳がわからずてんてこ舞いの状態になってしまうので、有理化を理解するにあたって分数のルールについても確認しておくことは必須です。
しっかりと抑えておくようにしましょう。

負の平方根は存在しない

負の数の平方根は存在しません。
例題をもとに理由を考えてみましょう。

例題1:-9の平方根を求めなさい

まずは「二乗したら-9になる数字」を考えましょう。
数には正の数と負の数しか無いので選択肢は3×3か(-3)×(-3)となります。
では、どちらの計算結果が-9になるでしょうか。
どちらも答えは9です。
この様に負の数に平方根は存在しないということを必ず押さえておいて下さい。

答:無い

では問題などで-√4など、根号にマイナスがついている場合はどのように考えればよいのでしょうか。
この際は(-1)×√4として考えます。
変数を勉強した際に+aは+1×a、-aは-1×aと学習したことと同じです。
平方根=根号では無いので注意しましょう。

平方根の問題はこう考えよう

ここからは実際に平方根の問題を取り組む際に抑えておきたいポイントについて紹介します。
以下の3点に気をつけていれば平方根について困ることは無いように構成してあります。

とにかく素因数分解!

乗法の式部分を因数と呼びます。
5×6=30の場合は5, 6が因数となります。
この因数をすべて素数にしてしまうことを「素因数分解」と呼びます。
先程の式の場合は6が2×3と表す事が可能です。
そのため30を素因数分解すると2×3×5となります。

平方根を攻略するために素因数分解をマスターしましょう。
数学の問題はとにかく整理することがポイントです。
平方根の問題では整理の効果が特に表れます。
以下の例題を見てみましょう。

例題2:25の平方根を求めよ

25は素因数分解をすると5×5と書き表すことが出来るので25の平方根は5です。
平方根は同じ素数の組み合わせが有ってはじめて発生するので5をふたつ書いてしまったり、5の二乗としてしまわないようにしましょう。

答:±5
例題3:√5×√5を計算せよ

この場合、根号の中身どうしをかけ合わせて計算します。
√(5×5)で√25です。
25を素因数分解すると5×5なので根号を外すことで答えが5と求めることが出来ます。
また平方根はどちらも正の数であるため+5もしくは5と答えを求めることが可能です。

答:5

有理化

分数の問題で分母に根号のついた数が含まれている場合は有理化を行う必要があります。
また有理化を用いる問題の大半は「有理化しなさい」と有理化を行わせる問題です。
また因数分解を併用する必要のあるトリッキーな問題が有ることも注意しなければなりません。

例題4:√5/√7を有理化しなさい

分母が√7であるため、分母と分子それぞれに√7をかけ合わせます。
根号が外れる条件は「数字がある数の二乗になる時」と冒頭でもお話しました。
そのため分母を√49とし、49の平方根は7なのでつまり分母は根号が外れて7となります。

答:√35/7

また因数分解を使用する場合についても取り上げているので以下に例題を示します。

例題5:18/√3+√6を有理化しなさい

この問題では因数分解が利用可能です。(a+b)(a-b)=a^2-b^2を利用しましょう(a^2はaの二乗という意味です)。
実際に計算してみると以下のようになります。

18(√6-√3)/(√6+√3)(√6-√3)

18(√6-√3)/36-9

18(√6-√3)/27

2(√6-√3)/3

答:2(√6-√3)/3

計算問題の中で有理化をする場合がありますが、これは有理化を行っていない場合は正解とは扱われません。
「計算しなさい」と指示されているからには出来る計算はすべて計算してから解答を終えるようにしましょう。

±を忘れがち!気をつけて

注意平方根の計算でよく得点を落としがちなポイントが±の記号です。
この記号は正の数にも負の数にもなり得る数につける記号で単に平方根を求める問題では必ず使用しなければなりません。

例えば49の平方根を求める場合、7×7を計算しても(-7)×(-7)を計算しても答えは同じ49になります。
そのため+7も-7も正解であり、表現としては±7という事になります。
つまり「何でもかんでも±を付けたらオッケー!」という訳でも無いという事です。
例題3の√25では±をつけていない場合が正解です。
その理由を以下に示します。

平方根とは「aという数字を2乗した数がbである」時にはじめて「aはbの平方根である」と言うことが可能だと冒頭で述べました。
対する根号は+√(数字)と-√(数字)が存在します。
+は省略しても構わないルールでしたので単純に√9である場合は+√9と言い換える事が可能という訳です。
そのため答えも正の数しか存在せず、負の数が答えに含まれていると間違いとなります。
平方根と根号(√)は全くの別物で行き来できない物と考えて下さい。
平方根=√だと勘違いしないよう注意しましょう。

まとめ

平方根とは「二乗する前の数」の事です。
49の平方根の場合は+7と-7です。
対する根号(√)の中身は「二乗した後の数」です。
つまり根号の中に負の数は存在しないという事になります。
√5×√5の場合は正の数を掛け合わせているので答えも正の数のみ+5となります。
ただし単に√25の平方根を求めるという場合は±√5となります。
それぞれの特徴をしっかりと把握して問題演習に臨めば徐々に慣れてきます。
粘り強く学習に取り組むよう意識しましょう。
それでも難しいという場合は決して諦めず最初から読み返してみて下さい。

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